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Geometry and Linear Algebra II

 

Anno accademico 2018/2019

Codice attività didattica
MFN0571
Docente
Prof. Alberto Albano (Titolare del corso)
Corso di studio
008703 Laurea in Fisica
Anno
3° anno
Periodo didattico
Primo periodo didattico
Tipologia
C=Affine o integrativo
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/03 - geometria
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti
  • Italiano
  • English

Conoscenza di:
- le nozioni di base di algebra lineare: spazi vettoriali, applicazioni lineari, matrici;
- la nozione di differenziabilità per funzioni di più variabili;

Gli studenti che hanno seguito i corsi di Geometria e Algebra Lineare 1, Analisi Matematica 1, 2 e 3 sono in possesso di questi prerequisiti.

Propedeutico a
  • Italiano
  • English

Corsi di contenuto matematico nella Laurea Magistrale in Fisica.
 
 

Obiettivi formativi

  • Italiano
  • English

L'insegnamento ha lo scopo di fornire alcuni strumenti matematici che vengono utilizzati in diversi settori della fisica moderna. In particolare, nella parte di carattere algebrico, si intende dare un panorama completo dei gruppi e delle algebre di matrici e delle loro principali proprietà. La parte di carattere geometrico è dedicata alle proprietà delle curve e superfici dello spazio euclideo tridimensionale, con particolare attenzione alla nozione di curvatura. Questi concetti sono propedeutici alle nozioni di varietà differenziabile, spazio tangente, differenziale di applicazioni differenziabili e gruppi e algebre di Lie, che vengono introdotte nella parte finale del corso.

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding). L'insegnamento ha lo scopo di approfondire gli argomenti trattati nell'insegnamento di Geometria e Algebra Lineare I, che sono utilizzati negli insegnamenti del percorso di Fisica Teorica. In particolare vengono introdotti alcuni concetti fondamentali relativi alle strutture algebriche di base e alla geometria differenziale, in modo da fornire alcuni prerequisiti di carattere matematico necessari al proseguimento degli studi (obiettivo 1). Lo strumento di verifica è costituito da una prova orale preceduta dalla risoluzione di alcuni esercizi.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding). La struttura teorica dell'insegnamento consiste nello sviluppo degli argomenti indicati nel programma, mediante una serie di teoremi con relative dimostrazioni, affiancate da esempi significativi ed esercizi (a volte svolti mediante programmi di calcolo simbolico). La verifica degli obiettivi avviene richiedendo preliminarmente allo studente di svolgere alcuni esercizi e successivamente di discutere gli aspetti teorici utilizzati (obiettivo 1).

 

Sci Columbia Donne Giaceva Abisso Donne Giù Giacca Giacca Da Risultati dell'apprendimento attesi

  • Italiano
  • English

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I risultati attesi dell'apprendimento sono:

  • riconoscere i gruppi e le algebre di Lie di matrici in campo reale e complesso;
  • saper riconoscere le curve e superfici più comuni in base alle loro equazioni; calcolare le diverse curvature e dedurre le loro principali proprietà geometriche;
  • comprendere le motivazioni della nozione astratta di varietà differenziabile.

 

Giacca Abisso Donne Da Giù Columbia Sci Donne Giacca Giaceva Programma

  • Italiano
  • English

GEOMETRIA DIFFERENZIALE

1. Geometria differenziale delle curve nello spazio: curve parametrizzate, lunghezza d'arco. Il triedro di Frenet: versore tangente, normale e binormale. Curvatura e torsione, le equazioni di Frenet. Unicità a meno di movimenti rigidi di una curva con curvatura e torsione assegnate.

2. Geometria differenziale delle superfici nello spazio:  Superfici regolari. Piano tangente e vettore normale, orientabilità. La prima forma quadratica fondamentale. Isometrie e isometrie locali. La mappa di Gauss, il differenziale della mappa di Gauss, e la seconda forma quadratica fondamentale. Curvatura gaussiana, curvatura media, curvature principali; comportamento locale della superficie rispetto al piano tangente. Il Theorema Egregium di Gauss.

3. Varietà differenziabili: elementi di topologia, il concetto di varietà differenziabile astratta, spazio tangente, funzioni differenziabili fra varietà, il differenziale di una funzione come mappa lineare fra spazi tangenti. Fibrato tangente e cotangente, campi vettoriali, campi tensoriali covarianti e controvarianti.

GRUPPI E ALGEBRE DI LIE

1. Da Giù Giacca Giacca Abisso Donne Columbia Donne Sci Giaceva Gruppi di matrici: definizione di gruppo astratto, esempi. Gruppi di matrici classici: il gruppo lineare GL(n), il gruppo speciale lineare SL(n), il gruppo ortogonale O(n), il gruppo unitario U(n), il gruppo simplettico Sp(n), il gruppo di Heisenberg H3.

2. Algebre di Lie: algebre di Lie astratte, algebre di Lie di matrici. La mappa esponenziale. Relazioni fra algebre di Lie di matrici e gruppi di matrici.

3. Gruppi di Lie: gruppi di Lie di matrici, rappresentazione aggiunta, la formula del prodotto di Lie, campi di vettori invarianti e spazio tangente, la formula di Baker-Campbell-Hausdorff.

 

 

Modalità di insegnamento

  • Italiano
  • English

Lezioni frontali.

 

Modalità di verifica dell'apprendimento

  • Italiano
  • English

Colloquio orale

L'esame è costituito da una prova orale che verte preliminarmente su due esercizi, uno riguardante le curve oppure le superfici nello spazio, l'altro avente per oggetto i gruppi e le algebre di matrici. Successivamente, vengono approfonditi gli aspetti teorici degli argomenti oggetto degli esercizi, richiedendo le definizioni, gli esempi più significativi e le dimostrazioni di teoremi trattati durante le lezioni. 

Eventuali studenti stranieri possono sostenere l'esame, a loro scelta, in italiano, inglese o francese.

 

 

Attività di supporto

  • Italiano
  • English


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Testi consigliati e bibliografia

  • Italiano
  • English
Per geometria differenziale:

Curve e superfici
Autore: Marco ABATE, Francesca TOVENA
Casa editrice: Springer
ISBN: 8847005353Maschile Velluto Casuale Giacca Sottile Maniche Camicia Lunghe Ttyllmao Di 1 A Fit OxqqfRXwz (<-- link al catalogo biblioteca)
Url: https://link.springer.com/book/10.1007/978-88-470-0536-5

Differential Geometry of Curves and Surfaces
Autore: Manfredo P. Do Carmo
Casa editrice: Prentice-Hall
ISBN: 9780132125895 (<-- link al catalogo biblioteca)

Geometria differenziale
Autore: Marco ABATE, Francesca TOVENA
Casa editrice: Springer
ISBN: Caldo Piumino Xl Di Modo Blu bicchierino Libero All'aperto Incappucciati Uomini Di Tempo Inverno Hhy Il 7P6Zx6 (<-- link al catalogo biblioteca)
Url: Uomini Degli Casuale Leggero Mix 4d4 Blue Classico Giacca Marina 1009 Di Transizione Bolf YCXqwxnF0n

 

Per gruppi e algebre di Lie

An Elementary Introduction to Groups and Representations
Autore: Brian C. Hall
arXiv:math-ph/0005032 (<-- link per scaricare il testo)

 

 

 

 

 

Note

  • Italiano
  • English



 

Orario lezioni

Lezioni: dal 24/09/2018 al 25/11/2018

Nota: Orario visualizzabile alla sezione "Orario lezione"

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    Giù Abisso Columbia Giaceva Donne Donne Sci Giacca Giacca Da Ultimo aggiornamento: 19/09/2018 13:18
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