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Un passo significativo per la verifica dell’esistenza di una correlazione tra i caratteri osservati, consiste nel disegnare un diagramma di dispersione, cioè rappresentare nel piano cartesiano le osservazioni con punti o cerchietti.

Se il diagramma di dispersione suggerisce una relazione lineare tra i dati ed inoltre, il valore del coefficiente di correlazione in modulo è prossimo ad uno, anche se tra i dati non esiste una relazione perfettamente lineare, ha senso determinare l’equazione di una retta che approssimi i dati nel “miglior modo possibile”.

Il metodo dei minimi quadrati consente di determinare l’equazione di questa retta, detta retta di regressione o dei minimi quadrati. Lo studio del fenomeno suggerirà quale dei caratteri può essere interpretato come variabile indipendente (indicata con ) e quale come variabile dipendente (indicata con ).

Definizione

Siano e i dati sperimentali osservati in una popolazione e si rappresentino nel piano le coppie .

Si definisce retta di regressione o dei minimi quadrati la retta di equazione

1

per la quale è minima la quantità

2

che rappresenta la somma dei quadrati delle distanze di ciascuna coppia dal corrispondente punto sulla retta .

In particolare accade che:

  • se allora risulterà che i punti sono allineati sulla retta con

  • se allora risulterà che i punti sono allineati sulla retta con .

Si dimostra che i coefficienti e della retta di regressione possono calcolarsi mediante le seguenti formule

3
4

Esempio

Nella tabella che segue sono riportate le misure del volume di un gas a differenti temperature e nella figura è riportato il relativo grafico di dispersione

1

Si determini il coefficiente di correlazione e la retta di regressione lineare.

Per calcolare il coefficiente di correlazione campionario è necessario determinare la covarianza campionaria dei valori della temperatura e del volume e le relative deviazioni standard. Si indichi con la serie di dati relativi alle rilevazioni delle temperature e con la serie di dati relative alle rilevazioni dei volumi.

Nero Pocketes Outwear Cerniera Traspirante Giacca Piumino Puffa Addensare Imbottita Mens Morbidi Antivento Inverno Incappucciato Staccabili Parka All'aperto Trapuntata Sottile Impermeabile Caldi Yuandian Dalla definizioni della covarianza ricaviamo

mentre per lo scarto quadratico medio abbiamo

All'aperto Antivento Incappucciato Staccabili Mens Cerniera Outwear Puffa Trapuntata Imbottita Piumino Yuandian Parka Caldi Pocketes Addensare Nero Inverno Traspirante Giacca Sottile Impermeabile Morbidi
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Pertanto, il coefficiente di correlazione cercato vale

5

All'aperto Mens Outwear Pocketes Yuandian Morbidi Staccabili Inverno Puffa Traspirante Addensare Antivento Sottile Trapuntata Impermeabile Parka Giacca Caldi Piumino Incappucciato Imbottita Nero Cerniera Un valore del coefficiente di correlazione campionario così prossimo ad 1 ed il diagramma di dispersione riportato in figura 1, suggeriscono l’esistenza di una relazione lineare tra i caratteri osservati. Ha senso, pertanto, determinare la retta di regressione lineare.

Calcolando i valori delle medie e ed utilizzando le (3) e (4), è possibile individuare i coefficienti della retta di regressione lineare

Inverno Staccabili Imbottita Mens Pocketes Giacca Sottile All'aperto Yuandian Trapuntata Cerniera Traspirante Impermeabile Parka Incappucciato Nero Puffa Morbidi Outwear Caldi Piumino Addensare Antivento

Pertanto la retta di regressione lineare ha equazione:

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